Hello Marc.

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> 
> Let a,b,c be real number that satisfy :
> cos(a)+cos(b)+cos(c)=0
> and
> sin(a)+sin(b)+sin(c)=0
> 
> Show that :
> cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)=0
> and
> sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=0
> 


This one is easy.

cos(a) + cos(b) + cos(c) = 0
sin(a) + sin(b) + sin(c) = 0

i[sin(a) + sin(b) + sin(c) ] = 0

[cos(a) + i sin(a) ] + [cos(b) + i sin(b) ] + [cos(c) + i sin(c) ] = 0

Let z1 = cos(a) + i sin(a)

    z2 = cos(b) + i sin(b)

    z3 = cos(c) + i sin(c)

z1 + z2 + z3 = 0

z1 + z2 = - z3

z1/z3 + z2/z3 = -1

Let w1 = z1/z3

    w2 = z2/z3

w1 + w2 = -1

Because w1 + w2 is a real number,
w1 and w2 are complex conjugates on the unit circle.

w1 * w2 is a positive real number on the unit circle.

w1 * w2 = 1

(w1 + w2)^2 = (-1)^2 = 1

w1^2 + 2 w1 * w2 + w2^2 = 1

w1^2 + 2 + w2^2 = 1

w1^2 + w2^2 = -1

w1^2 + w2^2 + 1 = 0

z3^2 ( w1^2 + w2^2 + 1) = 0

(z3 * w1)^2 + (z3 * w2)^2 + z3^2 = 0

    w1 = z1/z3

    w2 = z2/z3

z3 * w1 = z1

z3 * w2 = z2

z1^2 + z2^2 + z3^2 = 0

    z1 = cos(a) + i sin(a)

    z2 = cos(b) + i sin(b)

    z3 = cos(c) + i sin(c)

   z1^2 = cos(2a) + i sin(2a)

   z2^2 = cos(2b) + i sin(2b)

   z3^2 = cos(2c) + i sin(2c)

z1^2 + z2^2 + z3^2 = 0

[ cos(2a) + i sin(2a) ] + [ cos(2b) + i sin(2b) ] + [ cos(2c) + i sin(2c) ] = 0

[ cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) ] + i [ sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) ] = 0

cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) = 0

sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) = 0

QED